MH 15: Money Management: Optimal f

Wie bewerten Sie diesen Artikel?

Mechanische Handelssysteme, Teil 15

Optimal f - von dem amerikanischen Mathematiker Ralph Vince entwickelt - ist eine Money Management Strategie, die verwendet werden kann, um die Systemperformance zu maximieren. Ziel der Methode ist es, den optimalen Hebel bzw. den optimalen Kapitaleinsatz für jeden Trade zu finden. Da diese Methode im professionellen Bereich breiten Zuspruch gefunden hat, werden die Grundidee, sowie die Vor- und Nachteile der Optimal f Methode im nachfolgendem Beitrag ausführlich erläutert.

Optimal f ist eine Money Management Strategie, die vor allem bei gehebelten Portfolios angewendet wird, um einen optimalen Return zu erzielen. Ein gehebeltes Portfolio zeichnet sich dadurch aus, daß mehr Kapital eingesetzt wird, als vorhanden ist. Dies wird entweder durch Derivate - Optionen, Futures, Forwards und Swaps - oder durch Kredite realisiert. Die Optimal f - Strategie bestimmt denjenigen Prozentsatz des Kapitals für jeden einzelnen Trade, der in der Vergangenheit die höchstmögliche Rendite erzielt hätte. Der Begriff "Optimal f" ist in diesem Sinne etwas irreführend und sollte eher mit "Maximal f" bezeichnet werden. Die Grundhypothese der Optimal f Strategie lautet, daß für jede unabhängige Renditeverteilung mit positivem Erwartungswert ein optimaler, fester Bruchteil f als Teiler des größten aufgetretenen Verlustes existiert, der in jedem Trade einzusetzen ist. Wichtigstes Merkmal bei Optimal f ist der Effekt des exponentiellen Wachstums durch Reinvestition der Gewinne. Die Optimal f Methode eignet sich auch besonders für die Bewertung von Fonds- oder Systemergebnissen. Denn der f-Wert ist von der Struktur her ein zweidimensionales Performancemaß und daher auch mit der Sharpe-Ratio vergleichbar.

Die Kelly - Formel
Das Konzept selbst basiert auf der Kelly-Formel. Die Kelly-Formel wurde bereits in den fünfziger Jahren entwickelt und errechnet den Prozentsatz des Kapitals , der investiert werden muß, um ein optimales Ergebnis zu erzielen.

Ein einfaches Beispiel soll die Anwendung dieser Formel erläutern. Wenn man in einem Spiel eine Wahrscheinlichkeit von 55% hat 3.-DM zu gewinnen, gleichzeitig eine Wahrscheinlichkeit von 45% besteht 2.- DM zu verlieren, dann erhält man

f = (( 3/2 + 1 ) * 0.55 - 1) / ( 3/2) = 0.25.

Um einen optimalen Gewinn zu erzielen, müßte man bei jedem Einsatz 25% des vorhandenen Kapitals einsetzen. Das Problem bei der Kelly-Formel ist, daß sie nur dann genaue Ergebnisse liefert, wenn die Gewinnhöhe und die Verlusthöhe immer gleich groß sind. Da dies beim Trading nie der Fall sein wird, hat der Mathematiker Ralph Vince die Kelly-Formel erweitert. Als Ergebnis ist mit Optimal f ein Gleichungssystem entstanden, mit dem der optimale Kapitaleinsatz unter Berücksichtigung der historischen Ergebnisse berechnet werden kann. Für einen ersten Überblick ist die Kelly-Formel trotzdem sehr nützlich, da aus der Performance Summary eines Systems oder eines Fonds das Optimal f überschlagsmäßig sehr einfach errechnet werden kann, wobei man sich darüber im Klaren sein sollte, daß das f-Kelly das Optimal f in aller Regel unterschätzt. Als Parameter sind lediglich die Gewinnwahrscheinlichkeit (Trefferquote) und die Profit-/Loss-Ratio erforderlich.

HPR - Holding Period Return
Im ersten Schritt führt Vince den Begriff der Holding Period Return (HPR) ein. Die HPR ist die Rendite (ROR = Rate of Return) eines Trades plus 1. Ein Trade mit einem Gewinn von 10% entspricht somit einem HPR von 1.1, ein Trade mit einem Verlust von 25% entspricht einer HPR von 0.75. Die HPR kann sowohl bezogen auf einen Trade als auch bezogen auf eine Tradingperiode berechnet werden. Da die prozentualen Returns als eine Funktion des eingesetzten Kapitals berechnet werden, kann man die HPR auch wie folgt definieren:

TWR - Terminal Wealth Relative
Wenn man die einzelnen HPR`s der Trades oder beobachteten Perioden multipliziert, so erhält man den relativen Endwert des eingesetzten Kapitals. Vince nennt dies den Terminal Wealth Relativ, kurz TWR. Der TWR gibt somit die geometrische Rendite über den gesamten Zeitraum an. Den gleichen Zahlenwert erhält man, indem man das Endkapital durch das Startkapital dividieren

Der nächste Schritt zur Ermittlung des Optimal f besteht darin, den TWR durch Variation der Variablen f zu maximieren. Man sucht also denjenigen f-Wert, bei dem man den höchsten TWR erzielt und nennt diesen f-Wert Optimal f.
Nachdem man Optimal f und den dazugehörigen TWR berechnet hat, kann man das minimale Kapital bestimmen das notwendig ist, um einen Kontrakt zu handeln. Hierzu dividiert man den maximalen Drawdown durch den Wert von Optimal f. Bei einem maximalen Drawdown von 20.000.-DM und einem Optimal f von 25% benötigen man mindestens 80.000.-DM um dieses fiktive System mit einem Kontrakt zu handeln.

Berechnungsbeispiel
In Tabelle 1 ist ein kleines Beispiel zur Berechnung des Optimal f dargestellt. Interessenten können eine EXCEL-Datei zur Berechnung des Optimal f von der Internetseite des Autors (www.whs-gmbh.de) herunterladen.

Im dargestellten Beispiel ist eine Tradefolge von 25%, -35%, 40%, -10% und 30% unterstellt (Spalte Gew./Verl.). Aus diesen historischen Daten wird das Optimal f errechnet. Im dargestellten Tabellenausschnitt wird hierzu für die f-Werte 0.10, 0.15, 0.20, 0.30, 0.35 und 0.40 der entsprechende TWR - die geometrische Rendite - berechnet. Dies erfolgt nach den Formeln in Bild 2 und Bild 3 für jeden f-Wert, so daß am Ende zu jedem f-Wert ein TWR existiert. Aus der Tabelle kann man folgendes ablesen: wären pro Trade 10% (f=0.10) des Kapitals riskiert worden - einen Verlust von 35% unterstellt - , so hätte man eine Rendite von 13% (entspricht TWR=1.13), bei einem Risiko von 40% pro Trade eine Rendite von 34% erzielt. Der entsprechende Kapitaleinsatz ist in der letzten Zeile dargestellt. Man erkennt, daß bei einem f-Wert von 0.40 mit Hebel gearbeitet werden muß. Setzt man in diesem Fall 114% (Hebel 1.14) des vorhandenen Kapitals ein, so erleidet man bei dem größten angenommenen Verlust von 35% (bezogen auf 100% Kapitaleinsatz) einen Gesamtverlust von 40%. Läßt man für f alle möglichen Werte von 0 bis 1 durchlaufen, so erhält man eine für diese historische Tradereihe charakteristische f-Kennlinie (Bild 4).

Man erkennt, daß ab einem f-Wert von 0.40 die Kennlinie nach unten abkippt. Bei einem Wert f-Wert von ca. 0.75 werden negative Renditen erzielt - der TWR rutscht unter den Wert von 1 (rote Linie). Bei einem f-Wert von 0.40 erreicht man das optimale f. Hätte man für die vorgegebene Tradesequenz jedesmal einen Hebel von 1.14 gewählt, dann hätte man die optimale Rendite von 34% (TWR=1.34) erzielt. Jede Steigerung des Hebels bzw. Kapitaleinsatzes hätte zu niedrigeren Renditen geführt. Haupteinflußgröße für die Bestimmung des optimalen Hebels ist der größte historische Verlusttrade. Beim vorliegenden Beispiel hatte dieser Trade einen Verlust von 35% produziert. Um die Sensitivität des Optimal f von dieser Größe darzustellen, ist in Bild 5 das Ergebnis der Berechnungen für einen auf 15% reduzierten maximalen Verlusttrade dargestellt. Das Optimal f hat nun einen Wert von 0.50. Bei diesem Wert wird eine Rendite von 185% (TWR=2.85) erzielt. Dabei kann mit einem Hebel von 3.33 gearbeitet werden, d.h., 70% des eingesetzten Kapitals könnten über Kredit finanziert werden. Ein Optimal f von 0.50 bedeutet aber auch gleichzeitig, daß man einen Drawdown von 50% einkalkulieren muß. Das Beispiel verdeutlicht die Gefahr der Methode des Optimal f. Ist der historisch eingetretene Verlust zu klein, dann ergibt sich rein rechnerisch die Möglichkeit, mit hohem Hebel die Renditen gewaltig zu steigern.

Kritik und Bewertung
Dies ist aber gleichzeitig ein Hauptansatzpunkt für Kritiker dieser Methode. Deren Argumentation lautet, daß der größte Verlusttrade nicht in der Vergangenheit aufgetreten ist, sondern daß dieser größte Verlusttrade erst noch in der Zukunft eintreten wird. Dann hätte der zu hoch gewählte Hebel verheerende Wirkung.

Nach Meinung des Autors sollte dieses Argument nicht die komplette Methode in Frage stellen. Vielmehr sollte bei der Festlegung des größten Verlusttrades ein konservativer Ansatz gewählt werden, indem der historische Wert zusätzlich mit einem Sicherheitsfaktor multipliziert wird. Dies hat zur Folge, daß der Scheitelpunkt der f-Kennlinie nach links unten verlegt wird und man somit einen Hebel wählt, der auf der ursprünglichen f-Kennlinie auf dem ansteigenden Bereich liegt. Der große Nutzen der Optimal f Methode liegt darin begründet, daß man anhand einer historischen Performancedatenreihe einen Anhaltswert dafür bekommt, welchen Hebel dieses System verträgt. Genau dies ist letztendlich das Ziel aller Money Management Methoden: so viel Kapital bei einem Trade einzusetzen, daß weder das Risiko zu groß, noch die Gewinne zu klein werden. Die f-Kennlinie visualisert auf einen Blick, ab welchem Punkt eine Steigerung des Kapitaleinsatzes zu einem schlechteren Chance-/Risiko-Verhältnis führt. Dies ist genau dann der Fall, wenn man sich auf dem abfallenden Ast der f-Kennlinie bewegt.

Fazit
Unglücklicherweise ist das Prinzip von Optimal f sehr komplex und nicht ganz einfach zu verstehen. Hinzu kommt, daß Ralph Vince seine drei Bücher über diese Thematik sehr theoretisch und mathematisch verfasst hat. Dies hat zur Folge, daß nur wenige Trader das Optimal f ihres Systems kennen. Die Folge ist in den meisten Fällen verminderter Gewinn bei erhöhtem Risiko, im schlimmsten Fall ein Überhebeln ("Overtrading") des Portfolios. Für diejenigen Trader, die mit diesen Instrumenten arbeiten, bleibt die Entscheidung, bei welchem "f" sie ihr System traden wollen, eine individuelle Entscheidung. Dabei spielt die Risikoneigung eine wichtige Rolle. Der entscheidende Nachteil von Optimal f ist, daß stets der historische Drawdown als der "Worst Case" betrachtet wird. Das versucht die Firma RINA Systems mit Secure f - einer Erweiterung von Optimal f - zu eliminieren. Secure f wird daher Gegenstand des nächsten Beitrages sein

Dieser Artikel, sowie die mit den verfügbaren Darstellungs- und Analysewerkzeugen erstellten und angezeigten Ergebnisse dienen ausschließlich zur Information und stellen keine Anlageberatung oder sonstige Empfehlung dar. Alle Rechte vorbehalten. Vervielfältigungen, Bearbeitungen sowie sonstige unberechtigte Nutzungen werden zivil- und strafrechtlich verfolgt.